* الصفر هو عدد ورقم -خوارزمية أقليدس -حسابيات نمطية -العمليات الحسابية الأربعة

الصفر هو عدد ورقم
الصفر (0 , ٠)هو عددورقم على حد سواء, يستخدم لتمثيل العدد نفسه في نظام العد. يحقق دوراً مركزياً في الرياضيات باعتباره حيادي الجمع بالنسبة إلى الأعداد الصحيحة, والأعداد الحقيقية, والعديد من البنى الجبرية الأخرى. كرقم فإن الصفر (0) يستخدم كعنصر نائب في أنظمة القيمة المكانية. في اللغة الإنجليزية فإن للصفر العديد من الأسماء الرسمية مثل: (zero, وnought, وnaught, وnil), وهناك أسماء أخرى مثل: (zilch, وzip) تعتبر غير رسمية. كما أن استخدام Ought أو aught كان معروفاً تاريخياً.
§أصل الكلمة
الكلمة zero الإنجليزية أتت من الفرنسية zéro من البندقية zero, والتي (جنباً إلى جنب مع cypher (سايفر)) أتت من الإطالية zefiro والتي أتت من العربية "صفر" والتي تعني "لا شيء" والتي كانت ترجمة للكلمة السنسكريتية (śūnya), والتي تعني "فارغ" وأول استخدام إنجليزي للكلمة عرف في عام 1598.
§التاريخ
§بلاد ما بين النهرين
بحلول منتصف الألفية الثانية قبل الميلاد فإن الرياضيات البابلية قد حصلت على نظام عد ستيني موضعي متطور حول نظام العد. بحلول عام 300 قبل الميلاد, رموز الترقيم (وتران مائلان) تم اختيارها كعنصر نائب في النظام البابلي. في لوحة مكتشفة في كيش (تعود إلى حوالي عام 700 قبل الميلاد), كتب الناسخ Bêl-bân-aplu أصفاره باستخدام ثلاثة خطاطيف, بدلاً من وترين مائلين.
العنصر النائب البابلي لم يكن صفراً حقيقياً لأنه لم يستخدم لوحده. كما أنه لم يستخدم في نهاية الرقم. وهكذا فالأرقام مثل 2 و120 (2×60), 3 و180 (3×60), 4 و240 (4×60), كانت تبدو متشابهة لأن الأعداد الكبيرة تفتقر إلى عنصر نائب نهائي في نظام العد الستيني. ويمكن للسياق فقط أن يميزهم.
§الهند
منذ مطلع القرن الخامس ق.م ظهر الصفر في الكتابات الهندية ,واطلق عليه اسم (الفراغ) أو سونيا (Sunya) أو سونيابينا Sunyabinda وأطلق عليه آيضا اسم "كا" Kha أي الثقب أو الفجوة علما ان الهنود لم يرسموا هذا الرقم وقد استعملوا النقطة للدلالة عليه .
Crystal xedit.png هذا القسم فارغ أو غير مكتمل، يُمكنك المساهمة وإضافة المعلومات عبر الضغط هنا.
§الصين
أيضا الصينيون اكتشفوا صفرا مشابهه للصفر الياباني في القرن الخامس ق.م وبعد 300 عام وضعوا صفرا خاصا بهم ذو قيمة عددية.
Crystal xedit.png هذا القسم فارغ أو غير مكتمل، يُمكنك المساهمة وإضافة المعلومات عبر الضغط هنا.
§العرب
الصفر عند جاهلية العرب كان يعنى لهم الشؤم والنحس , ولكنة فيما بعد الإسلام صار يرمز للخير , وهو في معتقدهم يرمز للفراغ واللاشيء، وقيل ان العرب كانوا يطلقون اسم صفر على شهر الغزوات التي يتركون فيها من غزوهم صفر اليدين أي بلا أي املاك , ويعتقد العرب ان الخوارزمي (780-850م) وهو من أبرز علماء العرب في الرياضيات , هو من ابتكر الصفر وجعل منه قيمة عددية رياضية .
والصفر في العربية عند الخوارزمي رقم يوضع على يمين العدد فقط ولاقيمة له على يسارة ,وكان العرب يستعملون الصفر مكان الفراغ حتى لا يلتبس مكانه على الناظر.

معاكس جمعي
في الرياضيات، المعاكس الجمعي أو المعكوس الجمعي (بالإنجليزية: Additive inverse) لأي عدد n \, هو العدد m \, الذي إذا أضيف إلى n \, يعطي العدد صفر 0 (العنصر المحايد في عملية الجمع).
أي أن m \, نظير جمعي ل n \Longleftrightarrow 0 = n + m \Longleftrightarrow n \, نظير جمعي ل m \,.
يوجد لجميع الأعداد الصحيحة والكسرية والحقيقية والعقدية معاكس جمعي. بينما الأعداد الطبيعية والترتيبية ليس لها معاكس جمعي لأنها لا تحوي أعداد سالبة. ولكل عدد موجب معاكس جمعي سالب ولكل عدد سالب معاكس جمعي موجب.
§أمثلة
المعاكس الجمعي للعدد 7 هو العدد −7 لأن 7 + (−7) = 0.
المعاكس الجمعي للعدد −0.3 هو العدد 0.3 لأن −0.3 + 0.3 = 0.

مؤشر أويلر
في الرياضيات, مؤشر أويلر هو دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية. تستعمل في الرياضيات الخالصة وفي نظرية المجموعات وفي نظرية الأعداد الجبرية وفي نظرية الأعداد التحليلية. في الرياضيات التطبيقية، مروراً بالحسابيات التوافقية، تلعب دوراً مهماً في نظرية المعلومات وخاصة في التشفير. وتسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي، لأن الحرف φ مستعمل للإشارة لهذه الدالة.
وتحمل اسم الرياضي السوسري أويلر (1707 - 1783) الذي كان أول من درسها.
تعريف
مؤشر أويلر φ هي دالة من مجموعة الأعداد الطبيعية نحو نفس المجموعة, حيث صورة n بالدالة هو عدد الأعداد الأصغر من n والأولية مع n.
مثلا, φ(Cool = 4 لأن الأعداد 1, 3, 5 و7 أولية مع 8.
حساب دالة أويلر[عدل]
مثال[عدل]
\varphi(36)=\varphi\left(2^2 3^2\right)=36\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)=36\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=12.
القيم الألف الأولى ل (φ(n

خوارزمية أقليدس
طريقة أقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين ابتُدأ بهما ممثلين بالقطعتين AB و CD، عُرفا كل منهما على أنهما مضاعفين لوحدة طول مشتركة. بما أن طول CD أقصر من AB، ، استعمل لقياس AB، ولكنه قاسه مرة واحدة لأن الباقي EA أصغر قطعا من CD. الآن، EA تقيس (مرتين) الطول الأقصر DC، حيث الباقي FC أقصر من EA. إذن،FC تقيس (ثلاث مرات) الطولEA. لأنه لم يبق أي باق، تتوقف العملية مع كون FC القاسم المشترك الأكبر. في اليمين، مثال نيكوماكوس مع الأعداد 49 و 21 معطيا قاسمهما المشترك الأكبر مساويا لسبعة. (أُخذ من Heath 1908:300).
في نظرية الأعداد، خوارزمية إقليدس هي خوارزمية لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين، تظهر أهميتها الأساسية في عدم الحاجة لتحليل العددين للتمكن من حساب قاسمهما المشترك الأكبر. تتميز بكونها إحدى أقدم الخوارزميات حيث ترجع إلى سنة 300 ق.م.
§مثال
القاسم المشترك الأكبر للعددين 252 و 198:
252 = 198 * 1 + 54 ‘ أربع وخمسون هو باقي قسمة 252 على 198
فنجد القاسم المشترك للعددين 198 و 54
198 = 54 * 3 + 36 ‘ ست وثلاثون هو باقي القسمة.
نكرر العملية هذه المرة مع : 54 و 36
54 = 36 * 1 + 18
مرة أخرى : 36 = 18 * 2 + 0
هنا وصلنا للصفر فيكون العدد الثاني 18 هو القاسم المشترك الأكبر.
§الخلفية
§القاسم المشترك الأكبر
§وصف الخوارزمية[عدل]
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين A، B يساوي القاسم المشترك الأكبر للعدد الثاني B وباقي قسمة A على B، ونكرر العملية نفسها حتى يصبح باقي القسمة مساويا الصفر، عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد الآخر.
خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): \operatorname{GCD}(A،B) = \operatorname{GCD}(B،r) \cdots \cdots \operatorname{GCD}(N،0)
حيث r هو باقي قسمة A على B.
N هو القاسم المشترك الأكبر.
§التطور التاريخي
"Depiction of Euclid as a bearded man holding a pair of dividers to a tablet."
من المحتمل أن تكون الخوارزمية الإقليدية قد اكتشفت قرونا قبل إقليدس. بين هنا حاملا ل dividers
§تطبيقات رياضياتية
§متطابقة بوزو
§الخوارزمية الإقليدية الممتدة
یمكن تمثیل القاسم المشترك الأكبر للعددین عن طریق دمج خطي مع عددین آخرین ، وذلك كالتالي GCD(x،y) = m*x + n*y كیف یمكن أیجاد قیمتي n و m وذلك عن طریق خوارزمیة اقلیدس الممتدة وھناك ثلاثة طرق لمعرفة ھذه القیم (الطرق ھي مشابه لبعض، لكن یمكن القول أنھا مختصره من الأخریات). الطريقة الأولى: وهي يمكن ان نطلق عليها التراجع وفي هذه الطريقة نقوم بالحل عن طريق خوارزمية اقليدس وبعدها تقول بالتراجع الخلفي لايجاد قيمتي m،n كما في المثال التالي: مثال: قم بتمثيل العددين 26و21 بطريقة اقليدس الممتدة : فنبدأ بالحل كما هو الحال في طريقة اقليدس : 26 == 1* 21 + 5 و 21 = 4 * 5 + 1 و 5 == 5 * 1 + 0 وتتوقف عند الصفر. الآن المعادلة التي قبل المعادلة التي باقيها صفر أي المعادلة الثانية نقوم بكتابتها بالشكل التالي : 1 = 21 – 4 * 5 ………… [1] أیضا المعادلة الأولى بنفس الشكل : 5 = 26 – 1 * 21 …………[2]
الآن نعوض المعادلة [2] في [1] 1 = 21 – 4 * (26 – 1 * 21)
ومن غیر أجراء عملیة حسابیة ، فقط نفك القوس لینتج : 1 = 21 -4*26 +4*21 1=21(1+4)-4*26 حيث 21 عامل مشترك لیكون لدینا الناتج النھائي : 4*21 +21
1 = 5*21 + (-4)*26 نتاكد من النتيجة 5*21+ -4*26 والناتج يساوي واحد إذاً المعادلة صحيحة
اذاً قيمة m هي 5 وقيمة nهي -4.

حسابيات نمطية
الساعة الحائطية تستعمل الحسابيات النمطية بتردد يساوي 12.
في الرياضيات وبالتحديد في مجال النظرية الجبرية للأعداد، الحسابيات النمطية (بالإنكليزية: modular arithmetics) هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من القسمة الإقليدية.
ترتكز الحسابيات النمطية أساسا على النظر إلى باقي قسمة الأعداد الطبيعية على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. يظهر هذا جليا في مثال حسابيات المنبه، الذي يوافق حالة n=12 : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشر ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13.
استعمالات
في الرياضيات الأساسية, هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوظيف الأكثر استعمالا هو المبرهنة الجيرية للأعداد, التي تتضمن مجالا أكثر توسعا, تتضمن مثلا مفاهيم الأعداد الجبرية ومبرهنة غالوا.
في الرياضيات التطبيقية, لهذه العبارة استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات نظرية المعلوميات كالتشفير ونظرية الترميز والمعلوميات. لعدد من الأدوات وخوارزميات داخل هذا المجال نجد اختبار أولية عدد ما والتفكيك إلى جداء عوامل أولية, استعمال مميزات مجموعة مثلا بالنسبة لتحويل فوريي المتقطع أو دراسة الخارج أو الخاصة بالأعداد الطبيعية, كما في الدوال الحدودية.
حسب مختلف العلماء والمألفين وحسب مجال التطبيق, تعتبر هذه التمديدات, إما جزء من الحسابيات النمطية أو تطبيقات أو غير مصنفة. في صيغتها البسيطة, تحمل في بعض الأحيان حسابيات المنبه. المفهوم نظام نمطي مستعمل في الحسابيات النمطية في مجموعات أعداد غير الأعداد الطبيعية.
التاريخ
الأصول الأولى
ابن الهيثم يكتشف مبرهنة ويلسون في القرن الحادي عشر.
الظهور في أوروبا
بيير دي فيرما développe largement l'arithmétique. Les propriétés de la division euclidienne, fondement de l'arithmétique modulaire, sont largement utilisées par ce mathématicien.
الطرق المستعملة
ليونهارت أويلر, théoricien des nombres du الثامن عشر، حلحل العديد من المعادلات الديوفانتية.
مساهمات كارل فريدريش غاوس
كارل فريدريش غاوس هو مؤسس الفرع من الرياضيات الذي يدعى حاليا الحسابيات النمطية.
القرن العشرون
التعمية
أوجوست كيركهوفس أعلن مبدأ مؤسسا لعلم التعمية المعاصر.

آلة إنجما, آلة للتعمية استعملت خلال الحرب العالمية الثانية، كُسر تشفيرها من طرف عالم الرياضيات ماريان رييفسكي.
نظرية المعلومات
وسائل الحسابيات النمطية
تساوي عددين بتردد عدد ثالث
للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة, علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.
بالنسبة لكارل فريدرش غاوس فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة, والمسماة حلقة ل تقارب ورمزها Z/nZ. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع, الذي يعرف بزمرة دائرية ذات المولد 1 ; ثم عملية الضرب, المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا عددا أوليا, نحصل على حقل . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب Disquisitiones arithmeticae تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما مبرهنة ويلسونوالبرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى .
الحسابيات النمطية ، في حالة لم يكن الترديد عددا أوليا ، أكثر تعقيدا. مبرهنة الباقي الصيني تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير داخلية, حيث يوجد قواسم الصفر, وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة مؤشر أويلر. وهي تتيح مثلا, تعميم مبرهنة فيرما الصغرى.
الأعداد الصحيحة الجبرية
بيان قسمة إقليدية على أعداد صحيحة غاوسية
بيان للبرهان على مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين باستعمال الأعداد الصحيحة الغاوسية
حروف دركليه
طور يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه الجزء الأساسي من النظرية في إطار الحلقة ℤ/nℤ.
درس دركليه الأعداد الأولية اللائي يأخذن الشكل n + λm حيث m و n عددان أوليان فيما بينهما وحيث λ عدد طبيعي ما. فحاول البرهان على أن هناك عددا غير منتهي من هذه الأعداد الأولية.
أساسيات
تعتبر الحسابيات النمطية نظاما حسابيا للأعداد الصحيحة يعتمد على تكرار الأعداد بشكل نمطي لدى بلوغها قيمة نمطية (modulus) معينة ، و هي تـُـخـْـتـَـزَل بالتعبير \mod . مرتبط بذلك الرياضياتيون يتكلمون عن " تطابق " (congruency) .
على فرض لدينا عدد صحيح موجب n\! وعدد صحيح a\! فإننا بقسمة a\! على n\! نحصل على عدد صحيح q\! هو ناتج القسمة وعدد صحيح r\! هو باقي القسمة بحيث يحققان العلاقة التالية:
a=qn+r\quad 0\le r < n; \quad q = \lfloor a/n\rfloor
حيث الصيغة \lfloor x\rfloor تعني أكبر عدد صحيح أصغر أو يساوي x\!
يرمز إلى عملية حساب باقي القسمة ب mod حيث نكتب r=a \mod n\! وبالتالي:
a=\lfloor a/n\rfloor \times n + (a \mod n)
أمثلة:
\mathcal {}5 \mod 7 = 5
\mathcal {}0 \mod 7 = 0
\mathcal {}7 \mod 7 = 0
\mathcal {}11 \mod 7 = 4
\mathcal {}-11 \mod 7 = 3
نقول عن عددين صحيحين a\! وb\! بانهما متوافقان بترديد n\! إذا تحقق (a \mod n) = (b \mod n) ونرمز لذلك بـ a \equiv b \mod n
خصائص عملية حساب باقي القسمة[عدل]
a\equiv b \mod n فقط إذا كان، n|(a-b)\!
a \equiv b \mod n \Rightarrow b \equiv a \mod n
a \equiv b \mod n \wedge b \equiv c \mod n \Rightarrow a \equiv c \mod n
خصائص الحسابيات النمطية[عدل]
(xy)\bmod \ m=((x \ \bmod \ m)(y \ \bmod \ m))\bmod \ m
(x+y) \bmod \ m=((x \ \bmod \ m)+ (y \ \bmod \ m) ) \bmod \ m
x^n \ \bmod \ m=( (x^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \ \bmod \ m)(x^{\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil} \ \bmod \ m)) \bmod \ m

العمليات الحسابية الأساسية الأربعة
الجمع: هو العملية التي يكون فيها الناتج مجموع طرفي العملية، ويرمز له بالرمز + ، مثل 4+3=7، و 4+16=20.
الطرح: وفيه تطرح قيمة العدد الثاني من العدد الأول، ويرمز للطرح بالرمز - ، مثل 5-2=3، و 13-7=6.
الضرب: هي العملية التي يكون فيها الناتج بتكرار العدد بمقدار العدد الآخر من المرات، ويرمز له بالرمز x ، على سبيل المثال 7x8 أي تكرار العدد 8 بمقدار 7 مرات أي ما يساوي 56.
القسمة: وفيها نعلم كم يتكرر العدد الثاني في العدد الأول، ويرمز للقسمة بالرمز / ، فعندما أقول 2/8 فذلك يعني أن الناتج هو مقدار تكرار العدد 2 في العدد 8 والناتج هو 4.
§الخاصية التجميعية
وهي الخاصية التي إن غيرت فيها مكان العدد لا يغير نتيجة العملية، فمثلا (2x(5x4 تساوي (5x(2x4. وتنطبق هذه الخاصية على الجمع كذلك، مثل (4+5)+2 تساوي (4+2)+5.
§الخاصية التبديلية
هي الخاصية التي إن بادلت بين طرفي العملية لا يغير من ناتج العملية، فتكرار العدد 8 سبع مرات هو نفسه تكرار العدد 7 ثماني مرات، وهذه الخاصية تنطبق على عمليتي الجمع والضرب، وليس على الطرح أو القسمة، مثل: 1+2=2+1=3 ، 3x5=5x3=15.
§مربع العدد ومكعب العدد
المربع الكامل هو العدد الذي إن قسمته على عدد معين مرتين كان الناتج 1 ، ما عدا العددين 1 و 0 ، فلو قسمت العدد 4 على العدد 2 فالناتج يساوي 2 ، وفي المرة الثانية يكون الناتج 1 ، إذن فالعدد 4 هو مربع العدد 2 ، ويسمى العدد 2 الجذر التربيعي للعدد 4 ، أما المكعب الكامل فهو العدد الذي إن قسمته على عدد معين ثلاث مرات كان الناتج 1 ، ما عدا العددين 1 و 0 ، مثل العدد 8 إن قسمته على العدد 2 ثلاث مرات سيكون الناتج على التوالي 4 و 2 و 1 ، إذن فالعدد 8 هو مكعب العدد 2 ، والعدد 2 هو الجذر التكعيبي للعدد 8. ملاحظة: 1 = 1x1، وكذلك: 1 = 1\1. 0 = 0x0، وكذلك: 0 = 0/0.
§حساب المعدل
المعدل هو حساب متوسط مجموعة قيم، ويكون ذلك بالجمع ثم القسمة على عدد القيم المدخلة، ويستخدم لحساب معدل الأرباح وحساب المعدل الدراسي، وغيرها. على سبيل المثال إن حصدت شركة خلال ثلاثة أشهر على التوالي 2000 $ في الشهر الأول، 2600 $ في الشهر الثاني، 3500 $ في الشهر الثالث، فإن المعدل يساوي 2000+2600+3500 \3 =8100\3= 2700 $ معدل الربح كل شهر خلال ثلاثة أشهر.
§حساب أحجام ومساحات الأشكال الهندسية
المربع: مساحة المربع تساوي (الطول) x(الطول)، فإن كان الطول =2 متر فإن المساحة =2 ضرب 2 وتساوي 4 أمتار مربعة.
المثلث: مساحة المثلث تساوي 1\2 طول القاعدة x الارتفاع، فإن كان طول القاعدة مترين والارتفاع ثلاثة أمتار فإن المساحة تساوي 1\2 ضرب 2 ضرب 3 وتساوي 3 أمتار مربعة.
المستطيل: مساحة المستطيل تساوي (الطول)x‏(‏العرض)، فإن كان طول المستطيل يساوي 5 أمتار، وعرضه يساوي 4 أمتار، فإن المساحة تساوي 5 ضرب 4 وتساوي 20 مترا مربعا.
الدائرة: مساحة الدائرة = نصف القطر x نصف القطر xالنسبة التقريببة (تساوي تقريبا 3.14)، مثال: دائرة نصف قطرها 10 أمتار، فمساحتها تساوي 10x10x3.14 وتساوي 314 مترا مربعا.
المكعب: حجم المكعب يساوي (الطول)x(الطول)x(الطول)، فإن كان طول المكعب يساوي 3 أمتار، فإن حجمه يساوي طوله مضروبا بنفسه ثلاث مرات، ويساوي 3 ضرب 3 ضرب 3 ويساوي 27 مترا مكعبا.
الهرم: حجم الهرم يساوي 1\3 مساحة القاعدة x الارتفاع، فإن كان طوله 3 أمتار، وعرضه مترين، وارتفاعه 6 أمتار، فإن حجمه يساوي 3 ضرب 2 ضرب 6 ويساوي 36 مترا مكعبا.
متوازي المستطيلات: حجم متوازي المستطيلات يساوي مساحة القاعدة x الارتفاع، فإن كان طول متوازي المستطيلات 7 أمتار وعرضه 3 أمتار وارتفاعه مترين، فإن الحجم يساوي 7 ضرب 3 ضرب 2 ويساوي 42 مترا مكعبا.
الكرة: حجم الكرة = 4\3 x نصف القطر x نصف القطر x نصف القطرx النسبة التقريبية، فإن كان قطرها يساوي 30 مترا، فإن حجمها يساوي 4\3 ضرب 30 ضرب 30 ضرب 30 ضرب 3.14 ويساوي 113040 مترا مكعبا.
الأسطوانة: حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة x الارتفاع، وبما أن قاعدة الأسطوانة دائرية الشكل، فإن حجم الأسطوانة يساوي مساحة الدائرة x الارتفاع، فإن كان نصف قطر القاعدة 10 أمتار، والارتفاع 15 مترا، فإن حجم الأسطوانة يساوي 10x10x3.14x15 ويساوي 4710 أمتار مكعبة.

الحساب في العربية
هو توارد تحاويل إحدى أو عدّة كينونات مدْخــلـة إلى إحدى أو عدّة نتائج مع تحاوير كيفية. ويستخدمه الجميع في مختلف المهام التي تتراوح ما بين العمليات العددية اليومية والحـُسبان المتقدم للعلوم و اِنظمالات الأعمال التجارية وغير ذلك. ولعلـّه ينفذ بمنوال حساب عددي على حاسوب. أما الحساب الذهنيّ فهو حساب بغير اعتماد على الكتابة. هذا هو المفهوم العام.
أما المفهوم الخاص، فهو يعبر عن مكان معين الذي يقع في مجال مناظرة إدارة (account)، و تحدث به عمليات تبادلية .
العملية الحسابية هي عملية معتمدة لتحويل واحد أو أكثر من المدخلات إلى واحد أو أكثر من النتائج، مع تغيير متغير.
ويستخدم المصطلح في مجموعة متنوعة من الحواس، وعلى حساب من حسابي واضح جدا من استخدام خوارزمية إلى الاستدلال غامضة حساب استراتيجية في منافسة أو حساب فرصة لعلاقة ناجحة بين شخصين.
على سبيل المثال، ضرب العدد 7 بالعدد 8 عملية بسيطة حسابيا. تقدير السعر العادل بالنسبة للأدوات المالية باستخدام نموذج بلاك شولز هو عملية معقدة حسابيا.
التقديرات الإحصائية لنتائج الانتخابات من المرجح استطلاعات الرأي تشمل أيضا حسابات حسابي، ولكن تقديم نتائج تتألف من نطاقات من إمكانيات بدلا من الإجابات على وجه الدقة.
لحساب وسيلة للتأكد من الحوسبة. الكلمة الإنجليزية مشتقة من اللاتينية حساب التفاضل والتكامل، وهو ما يعني في الأصل حجر صغير في المثانة، غال (من كسارة الزجاج ونفايته اللاتينية). ذلك يعني أيضا حصاة المستخدمة لحساب، أو حجر صغير يستخدم عداد في المعداد (المعداد اللاتينية، abax اليونانية). وكان العداد أداة يستخدمها الإغريق والرومان عن العمليات الحسابية، الشريحة السابقة للحكم والحاسبة الإلكترونية، وتكونت من الحصى مثقب ينزلق على القضبان الحديدية.
والحساب في الحياة اليومية نستخدمه دائما وهو مهم جدا لاستخدامه في الهندسة وحساب وحل المعادلات وحساب الأرباح والمعدلات وتوزيع الميراث وغيرها الكثير من الأمور المهمة التي تدخل في الحساب، لذلك فلا يستطيع أحد التخلي عنه وعدم استخدامه سواء في الحياة العامة أو الخاصة.

علم الحساب أو الحسابيات
هو علم العمليات الأساسية على الأعداد. وهو أقدم وأبسط فروع الرياضيات إذا اتخذ من منظور بسيط. ويستخدمه الجميع في مختلف المهام التي تتراوح بين العمليات العددية اليومية والحسابات المتقدمة للعلوم والأعمال التجارية وغير ذلك. أما الحسابيات الذهنية فهي حساب بغير اعتماد على الكتابة.
نشأة الحسابيات
نشأت الحسابيات في العديد من الحضارات القديمة، من أبرزها الحضارات المصرية والبابلية والأشورية والهندية والإغريقية، ثم برع بها العرب مع نشأة علوم رياضية أخرى من أبرزها الجبر.
§الفكرة الأساسية
الفكرة الأساسية في الحسابيات هي التعامل مع أي شيء من خلال الأرقام، أي على سبيل المثال إدراك أن ما هو مشترك بين تفاحتين وقطتين هو العدد 2. وتبعاً لذلك تكون هناك القدرة على العد، ونظراً لأن أول وأبسط طرق العد كانت على أصابع اليدين، فقد كان النظام العشري هو السائد، وخاصة مع استخدام الهنود لما يعرف بالدلالة الموضعية (بالإنجليزية Positional notation) التي تجعل للرقم الواحد أكثر من قيمة بناء على موقعه، فإن قيمة الرقم 2 بمفرده لا تساوي نفس قيمته في العدد 234 مثلاً.
§العمليات الحسابية
العمليات الحسابية الأساسية هي الجمع والطرح والضرب والقسمة، وقد يندرج تحتها أيضا حسابيات النسب المئوية وبشكل غير مباشر الجذور و والأسس واللوغاريتمات، ويتم القيام بالعمليات الحسابية طبقاً لترتيب العمليات، ويمكن القيام بأي مجموعة من العمليات الأربعة في نفس الوقت باستثناء حالة القسمة على الصفر.
§ترتيب العمليات الحسابية
عادة يستخدم في المعادلة الرياضية ما يسمى بالعمليات (الضرب والقسمة والجمع والطرح والأس والجذر وغير ذلك) ولكن عند حل أي معادلة هناك قواعد يجب الالتزام بها حتى يكون حل المعادلة صحيحاً، وهذه القواعد يستخدمها الحاسوب أيضاً، ومن هذه القواعد إعطاء الأولويات.
دائما نبدأ بالقيم التي تكون بين أقواس، ثم الأسس، وبعد ذلك الضرب والقسمة ثم الجمع والطرح.
مثال: 6-1*0+2/2 =
6-0+2/2 =
6-0+1 =
6-1
5
§اِستبصارات معمقة في الحسابيات عن طريق نظرية الأعداد والجبر
الاِقتراب إلى أفنون (discipline) الحسابيات بأسلوب نظرية الأعداد والجبر يؤدّي إلى اِستبصارات معمّقة جديدة؛ وكان ذلك المنهج الرئيسي للبحث في السنوات الأخيرة على مستوى الجامعات. وتتضمن نظرية الأعداد بحث خواص الأعداد الصحيحة من حيث كونها الأولية أو قابلية القسمة وكونها حلولاً للمعادلات، إضافة إلى العديد من الأبحاث الجارية بهذا الصدد.